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R hoch vier: Warum doppelte Radarreichweite sechzehnmal so viel Leistung kostet

Doppelte Radarreichweite kostet sechzehnmal so viel Sendeleistung, weil sich das Signal zweimal ausbreitet. Auf dem Hinweg zum Ziel verdünnt sich der Puls mit dem Quadrat der Entfernung, auf dem Rückweg das Echo noch einmal. Die Empfangsleistung fällt daher mit R⁴, und jede Verdopplung der Reichweite kostet den Faktor 16, also 12 dB.

Die Zahlen in diesem Beitrag stammen aus den Radar-Rechnern, jeder mit Formel und Quellen:

• Radargleichungs-Rechner (maximale Reichweite) maximale Reichweite aus Leistung, Antennengewinn, RCS und Empfindlichkeit
• Radarhorizont-Rechner wie weit ein Radar über die gekrümmte Erde sieht
• PRF-Rechner: eindeutige Entfernung, Blindgeschwindigkeiten und Tastverhältnis eindeutige Entfernung und Geschwindigkeit, Blindgeschwindigkeiten, Tastverhältnis
• Radar-Auflösungsrechner Entfernungsauflösung aus Puls oder Bandbreite, Querauflösung aus der Keule
• FMCW-Radar-Rechner Chirp-Bandbreite, Schwebungsfrequenz und maximale Reichweite von mmWave-Sensoren
• Radarquerschnitt-Rechner (RCS): m² ↔ dBsm m² in dBsm, Referenzziele und einfache Formen
• Wetterradar-Rechner: Reflektivität (dBZ) in Regenrate Wetterradar-Reflektivität in Regenrate und zurück
• Dopplerverschiebungs-Rechner Einweg, dazu der Zweiweg-Modus für Radarechos und Radarpistolen
• Radar- und Funkfrequenzbänder: Bandbezeichnungen IEEE-Buchstabenbänder, ITU-Bandnummern und NATO-Buchstaben

Woher kommt die vierte Potenz?

Aus zwei Durchgängen durch das Abstandsquadratgesetz. Die Leistung eines Senders verteilt sich über eine Kugel, die Leistungsdichte am Ziel fällt also mit R². Das Ziel fängt davon einen Teil auf, bestimmt durch seinen Radarquerschnitt, und strahlt ihn in alle Richtungen wieder ab. Dieses Echo verteilt sich auf dem Rückweg über eine neue Kugel und verliert ein zweites Mal R². Die Radargleichung multipliziert beides: P_r = P_t·G²·λ²·σ / ((4π)³·R⁴).

Nehmen Sie ein typisches Schiffsradar im X-Band: 12 kW Spitzenleistung bei 9,41 GHz, eine Antenne mit 31 dBi und als Ziel eine Motorjacht mit 10 m². Braucht der Empfänger −92,0 dBm, erscheint das Boot bis 12,5 km. Das Diagramm zeigt sein Echo über der Entfernung. Rückt das Boot von 12 km auf 6 km heran, wird das Echo um 12,0 dB stärker. Das ist derselbe Faktor 16, von der anderen Seite betrachtet.

Was bringt die doppelte Leistung tatsächlich?

Rund 19 % mehr Reichweite. Die doppelte Leistung streckt das Schiffsradar von 12,5 auf 14,8 km, die zehnfache Leistung vervielfacht die Reichweite nur um 1,78. Leistung ist der teuerste Hebel überhaupt. Die anderen wirken auf dieselbe Gleichung und sind oft günstiger.

• Der Antennengewinn zählt doppelt. Ein monostatisches Radar sendet und empfängt mit derselben Antenne. 3 dB mehr Gewinn sind deshalb 6 dB wert, so viel wie die vierfache Leistung. Das Schiffsradar käme auf 17,6 km.
• Die Zielgröße zählt einfach, als vierte Wurzel. Bei 1 m², etwa einem Menschen, reicht dasselbe Radar 7,0 km weit. Ein Ziel mit 100 m² erscheint bei 22,2 km, eines mit 0,01 m² bei 2,2 km. Jeder Faktor zehn im RCS sind 10 dBsm und der Faktor 1,78 in der Reichweite.
• Empfindlichkeit zählt wie Leistung. Jedes Dezibel, das der Empfänger gewinnt, durch eine niedrigere Rauschzahl, eine schmalere Bandbreite oder die Integration mehrerer Pulse, ist genau ein Dezibel Sendeleistung wert.

Schlägt mehr Leistung den Horizont?

Nein. Ein Radar sieht entlang gerader Linien, die die Atmosphäre leicht krümmt, und darunter wölbt sich die Erde weg. Mit dem üblichen Faktor 4/3 für den effektiven Erdradius sieht ein Radar 15 m über dem Meer ein Boot, dessen Oberkante 3 m hoch ist, bis 23,1 km. Unser Radar mit 192 kW würde dieses Boot bei 25,0 km erkennen. Fast 2 km der sechzehnfachen Leistung verpuffen also hinter dem Horizont.

Höhe wirkt, wo Leistung versagt. Ein Luftraumüberwachungsradar in 30 m Höhe sieht ein Flugzeug in 10 000 ft (3048 m) bis 250,1 km. In 200 km Entfernung muss ein Ziel höher als 1853 m fliegen, um überhaupt sichtbar zu sein, ganz gleich, wie stark der Sender ist.

Warum muss ein Radar mit großer Reichweite langsam pulsen?

Weil jedes Echo zurück sein muss, bevor der nächste Puls startet. Sonst gilt ein fernes Ziel als nahes Echo des folgenden Pulses. Der eindeutige Entfernungsbereich ist c/(2·PRF). Die US-Wetterradare des NEXRAD-Netzes bei 2,8 GHz messen bei einer PRF von 318 Hz bis 471,4 km eindeutig, bei 1300 Hz nur bis 115,3 km.

Die langsame Pulsfolge hat ihren Preis. Ein Puls-Doppler-Radar tastet die Phase jedes Echos einmal pro Puls ab. Die Radialgeschwindigkeit, die es lesen kann, ist daher auf ±λ·PRF/4 begrenzt, bei 318 Hz also ±8,51 m/s und bei 1300 Hz ±34,80 m/s. Das Produkt beider Grenzen, c·λ/8, hängt gar nicht von der PRF ab. Darum kombinieren Wetterradare wie NEXRAD Abtastungen mit niedriger und mit hoher PRF.

Der Rechner folgt der kohärenten Konvention ±λ·PRF/4. Bücher, die λ·PRF/2 nennen, meinen die volle Spanne von −v bis +v. Die Physik ist dieselbe.

Moderne Radare schlagen die vierte Potenz mit Signalverarbeitung statt mit roher Leistung. Bei der Pulskompression wird ein langer Puls mit einem linearen FM-Chirp oder einem Phasencode moduliert, und ein Optimalfilter staucht das Echo zu einer kurzen Spitze zusammen. Die Auflösung folgt dann der Bandbreite, c/(2B), während der lange Puls die Energie liefert. Gegenüber einem einfachen Puls mit derselben Auflösung von 15,0 m gewinnt ein Puls von 10 µs mit 10 MHz B·τ = 100, also 20 dB. Unter R⁴ bringen diese 20 dB den Faktor (B·τ)^1/4 = 3,16 an Reichweite. Seine Blindzone von c·τ/2 = 1,5 km deckt ein kurzer Füllpuls ab. Die kohärente Integration von N Pulsen hebt den Signal-Rausch-Abstand um bis zum N-fachen. 16 Pulse bringen also 10·log₁₀(16) = 12,0 dB, genau so viel, wie die doppelte Reichweite kostet. Doppler-Verarbeitung und Festzeichenfilter (MTI) trennen bewegte Ziele von See- und Bodenechos. Elektronisch geschwenkte Antennen verweilen länger, wo ein Ziel vermutet wird, und rauscharme Empfänger senken die Detektionsschwelle Dezibel für Dezibel. All das verschiebt die linke Seite des Budgets. Die Steigung bestimmt weiterhin R⁴.

Der Radar-Auflösungsrechner liefert c/(2B) für jede Bandbreite und c·τ/2 für einen einfachen Puls.

Kostet große Reichweite auch Auflösung?

Quer zur Keule ja. Die Entfernungsauflösung hängt nur von der Pulsdauer τ ab und beträgt c·τ/2, also 149,9 m für einen Puls von 1 µs, in jeder Entfernung. Die Querauflösung ist die Breite der Keule am Ziel und wächst deshalb mit der Entfernung. Eine Keule von 1,23° ist bei 10 km 215 m breit und bei 20 km 429 m. Zwei Boote nebeneinander verschmelzen bei 20 km zu einem Echo, wenn sie näher beieinander liegen.

Große Reichweite verlangt lange Pulse, denn die Detektion hängt von der Energie jedes Pulses ab, und lange Pulse verschmieren die Entfernung. Pulskompression und FMCW umgehen das, indem die Bandbreite die Auflösung bestimmt, c/(2B). Ein Automobilsensor bei 77 GHz mit einem Chirp von 4 GHz löst 3,75 cm auf. Mit einem ADC von 10 Msps und einer Chirp-Dauer von 40 µs liegt seine maximale Reichweite bei 13,5 m. Derselbe Chirp über 1 GHz streckt sie auf 54,0 m bei 15,0 cm Auflösung. 77 GHz liegen im IEEE-W-Band von 75 bis 110 GHz.

R⁴ gilt trotzdem. Mit dem typischen Automobil-Preset des Rechners ist ein Auto mit 10 m² bis 99 m erkennbar, ein Fußgänger mit 1 m² bis 56 m. Beim Kurzstrecken-Chirp oben greift die ADC-Grenze von 13,5 m lange vor R⁴.

Was tragen Wetterradar und Radarpistole bei?

Das Wetterradar macht aus dem Echo eine Regenrate. Es misst den Reflektivitätsfaktor Z auf einer Dezibelskala, dBZ, und eine Z-R-Beziehung rechnet ihn um. Mit der Voreinstellung nach Marshall–Palmer, Z = 200·R^1,6, entsprechen 20 dBZ 0,65 mm/h, 40 dBZ 11,5 mm/h und 50 dBZ 48,6 mm/h. Die NEXRAD-Standardbeziehung 300·R^1,4 liest 40 dBZ als 12,2 mm/h. Die Beziehung beschreibt eine typische Tropfengrößenverteilung, die Wahl zählt also mehr als die Nachkommastellen.

Die Radarpistole ist der Zweiweg-Fall der Dopplerverschiebung. Das Auto empfängt eine verschobene Welle und sendet sie als bewegte Quelle zurück, die Verschiebung wirkt also zweimal, 2·v·f/c statt v·f/c. Bei 24,15 GHz im K-Band ergeben 100 km/h 4475 Hz, doppelt so viel wie die 2238 Hz im Einweg-Fall. Radarpistolen im X-Band bei 10,525 GHz sehen 1950 Hz. Misst die Pistole 10° schräg zur Fahrtrichtung, zeigt sie wegen des Kosinuseffekts 98,5 km/h an. Der Fehler fällt also zugunsten des Fahrers aus.

Wo kommt echtes Gelände ins Spiel?

Der Radarhorizont setzt eine glatte Erde voraus. Echte Küsten, Grate und Gebäude schneiden die Sicht viel früher ab, und ihr Schatten ist genau das, was ein Sichtlinien-Viewshed zeigt. Im Abdeckungssimulator setzen Sie eine Masthöhe, platzieren das Radar auf der Karte und sehen, wo ein Ziel bestimmter Höhe über echtem Gelände sichtbar ist. Für die Rechnung finden Sie alle Radar-Rechner auf der Tool-Seite.