← Blog

R puissance quatre : pourquoi doubler la portée d’un radar coûte seize fois plus de puissance

Doubler la portée d’un radar exige seize fois plus de puissance d’émission, car le signal s’étale deux fois. À l’aller, l’impulsion s’affaiblit avec le carré de la distance, et au retour l’écho s’affaiblit encore avec ce même carré. La puissance reçue décroît donc en R⁴, et chaque doublement de portée coûte un facteur 16, soit 12 dB.

Les chiffres de cet article viennent des calculateurs radar, chacun avec sa formule et ses sources :

• Calculateur de l’équation du radar la portée maximale selon la puissance, le gain, la SER et la sensibilité du récepteur
• Calculateur d’horizon radar jusqu’où un radar voit au-dessus de la Terre courbe
• Calculateur de PRF : portée non ambiguë, vitesses aveugles et rapport cyclique portée et vitesse non ambiguës, vitesses aveugles, rapport cyclique
• Calculateur de résolution radar la résolution en distance selon l’impulsion ou la bande, la résolution transversale selon le faisceau
• Calculateur de radar FMCW bande du chirp, fréquence de battement et portée maximale des capteurs mmWave
• Calculateur de surface équivalente radar (SER) : m² ↔ dBsm m² en dBsm, cibles de référence et formes simples
• Convertisseur radar météo : réflectivité (dBZ) en intensité de pluie la réflectivité du radar météo en intensité de pluie, et inversement
• Calculateur de décalage Doppler l’aller simple, et le mode aller-retour pour les échos radar et les cinémomètres
• Désignations des bandes de fréquences radar et radio bandes en lettres IEEE, numéros de bande UIT et lettres OTAN

D’où vient la puissance quatre ?

De deux passages par la loi en carré inverse. La puissance d’un émetteur se répartit sur une sphère, si bien que la densité de puissance sur la cible décroît en R². La cible en intercepte une part, fixée par sa surface équivalente radar, et la renvoie dans toutes les directions. Au retour, cet écho s’étale sur une nouvelle sphère et perd R² une seconde fois. L’équation du radar multiplie les deux : P_r = P_t·G²·λ²·σ / ((4π)³·R⁴).

Prenons un radar de navigation typique en bande X : 12 kW crête à 9,41 GHz, une antenne de 31 dBi et, comme cible, un bateau de plaisance de 10 m². Si le récepteur exige −92,0 dBm, le bateau apparaît jusqu’à 12,5 km. Le graphique trace son écho en fonction de la distance. Quand le bateau passe de 12 km à 6 km, l’écho gagne 12,0 dB. C’est le même facteur 16, vu de l’autre côté.

Que rapporte vraiment le doublement de la puissance ?

Environ 19 % de portée en plus. Deux fois plus de puissance fait passer le radar de navigation de 12,5 à 14,8 km, et dix fois plus ne multiplie la portée que par 1,78. La puissance est le levier le plus coûteux qui soit. Les autres agissent sur la même équation et coûtent souvent moins.

• Le gain d’antenne compte deux fois. Un radar monostatique émet et reçoit avec la même antenne, donc 3 dB de gain en plus valent 6 dB, autant que quatre fois la puissance. Le radar de navigation atteindrait 17,6 km.
• La taille de la cible compte une fois, en racine quatrième. À 1 m², à peu près une personne, le même radar porte à 7,0 km. Une cible de 100 m² apparaît à 22,2 km, une de 0,01 m² à 2,2 km. Chaque facteur dix sur la SER vaut 10 dBsm et un facteur 1,78 sur la portée.
• La sensibilité compte comme la puissance. Chaque décibel gagné par le récepteur, grâce à un facteur de bruit plus bas, une bande plus étroite ou l’intégration de plusieurs impulsions, vaut exactement un décibel de puissance d’émission.

Plus de puissance peut-elle battre l’horizon ?

Non. Un radar voit en ligne droite, une ligne que l’atmosphère courbe légèrement, et la Terre s’incurve sous elle. Avec le facteur de rayon terrestre équivalent habituel de 4/3, un radar placé à 15 m au-dessus de la mer voit jusqu’à 23,1 km un bateau dont le sommet culmine à 3 m. Notre radar de 192 kW détecterait ce bateau à 25,0 km. Près de 2 km de cette puissance multipliée par seize se perdent donc derrière l’horizon.

La hauteur agit là où la puissance échoue. Un radar de surveillance aérienne placé à 30 m voit un avion à 10 000 ft (3048 m) jusqu’à 250,1 km. À 200 km, une cible doit voler au-dessus de 1853 m pour être vue, quelle que soit la puissance de l’émetteur.

Pourquoi un radar à longue portée doit-il émettre lentement ?

Parce que chaque écho doit revenir avant le départ de l’impulsion suivante. Sinon, une cible lointaine passe pour l’écho proche de l’impulsion suivante. La portée non ambiguë vaut c/(2·PRF). Les radars météo américains du réseau NEXRAD, à 2,8 GHz, mesurent sans ambiguïté jusqu’à 471,4 km avec une PRF de 318 Hz, et seulement jusqu’à 115,3 km à 1300 Hz.

Cette cadence lente a un prix. Un radar Doppler à impulsions échantillonne la phase de chaque écho une fois par impulsion. La vitesse radiale qu’il peut lire est donc limitée à ±λ·PRF/4, soit ±8,51 m/s à 318 Hz et ±34,80 m/s à 1300 Hz. Le produit des deux limites, c·λ/8, ne dépend pas du tout de la PRF. C’est pourquoi les radars météo comme NEXRAD combinent des balayages à PRF basse et à PRF haute.

Le calculateur suit la convention cohérente ±λ·PRF/4. Les ouvrages qui donnent λ·PRF/2 désignent l’étendue complète de −v à +v. La physique est la même.

Les radars modernes battent la puissance quatre par le traitement du signal plutôt que par la puissance brute. La compression d’impulsion module une impulsion longue par un chirp linéaire ou un code de phase, et un filtre adapté ramène l’écho à un pic bref. La résolution suit alors la largeur de bande, c/(2B), tandis que l’impulsion longue apporte l’énergie. Face à une impulsion simple de même résolution, 15,0 m, une impulsion de 10 µs sur 10 MHz gagne B·τ = 100, soit 20 dB. Avec la loi en R⁴, ces 20 dB valent un facteur (B·τ)^1/4 = 3,16 sur la portée. Sa zone aveugle de c·τ/2 = 1,5 km est couverte par une impulsion courte de remplissage. L’intégration cohérente de N impulsions augmente le rapport signal sur bruit jusqu’à N fois, si bien que 16 impulsions apportent 10·log₁₀(16) = 12,0 dB, exactement le prix d’un doublement de portée. Le traitement Doppler et le filtre d’élimination des échos fixes (MTI) séparent les cibles mobiles des échos de mer et de sol. Les antennes à balayage électronique s’attardent là où une cible est soupçonnée, et les récepteurs à faible bruit abaissent le seuil de détection décibel pour décibel. Tous ces leviers agissent sur le membre de gauche du bilan. La pente reste fixée par le R⁴.

Le calculateur de résolution radar donne c/(2B) pour toute largeur de bande, et c·τ/2 pour une impulsion simple.

Une grande portée coûte-t-elle aussi en résolution ?

En travers du faisceau, oui. La résolution en distance ne dépend que de la durée d’impulsion τ et vaut c·τ/2, soit 149,9 m pour une impulsion de 1 µs, à toute distance. La résolution transversale correspond à la largeur du faisceau sur la cible, elle croît donc avec la distance. Un faisceau de 1,23° mesure 215 m de large à 10 km et 429 m à 20 km. À 20 km, deux bateaux côte à côte plus proches que cela ne donnent qu’un seul écho.

La longue portée réclame des impulsions longues, car la détection dépend de l’énergie de chaque impulsion, et les impulsions longues étalent la distance. La compression d’impulsion et le FMCW contournent le problème en fixant la résolution par la largeur de bande, c/(2B). Un capteur automobile à 77 GHz avec un chirp de 4 GHz résout 3,75 cm. Avec un ADC à 10 Msps et un chirp de 40 µs, sa portée maximale est de 13,5 m. Le même chirp étalé sur 1 GHz la porte à 54,0 m, pour une résolution de 15,0 cm. 77 GHz se situe dans la bande W de l’IEEE, de 75 à 110 GHz.

Le R⁴ s’applique quand même. Avec le préréglage automobile typique du calculateur, une voiture de 10 m² est détectable jusqu’à 99 m et un piéton de 1 m² jusqu’à 56 m. Avec le chirp courte portée ci-dessus, la limite de l’ADC à 13,5 m intervient bien avant le R⁴.

Qu’apportent le radar météo et le cinémomètre ?

Le radar météo transforme l’écho en intensité de pluie. Il mesure le facteur de réflectivité Z sur une échelle en décibels, le dBZ, et une relation Z-R le convertit. Avec la relation par défaut de Marshall–Palmer, Z = 200·R^1,6, 20 dBZ correspondent à 0,65 mm/h, 40 dBZ à 11,5 mm/h et 50 dBZ à 48,6 mm/h. La relation par défaut de NEXRAD, 300·R^1,4, lit 40 dBZ comme 12,2 mm/h. La relation décrit une distribution typique de la taille des gouttes, si bien que son choix compte plus que les décimales.

Le cinémomètre est le cas aller-retour du décalage Doppler. La voiture reçoit une onde décalée et la renvoie comme une source en mouvement, si bien que le décalage s’applique deux fois, 2·v·f/c au lieu de v·f/c. À 24,15 GHz en bande K, 100 km/h donnent 4475 Hz, le double des 2238 Hz de l’aller simple. Les appareils en bande X à 10,525 GHz voient 1950 Hz. Avec une mesure à 10° de l’axe de déplacement, l’effet cosinus fait afficher 98,5 km/h. L’erreur joue donc en faveur du conducteur.

Où intervient le vrai terrain ?

L’horizon radar suppose une Terre lisse. Les côtes, les crêtes et les bâtiments réels coupent la vue bien plus tôt, et l’ombre qu’ils projettent est exactement ce que montre un viewshed de ligne de visée. Dans le simulateur de couverture, vous fixez une hauteur de mât, posez le radar sur la carte et voyez où une cible d’une hauteur donnée est visible au-dessus du terrain réel. Pour les calculs, tous les calculateurs radar se trouvent sur la page des outils.